万能公式推导
sin2=2sincos=2sincos/(cos^2()+sin^2())......*，
（因为cos^2()+sin^2()=1）
再把*分式上下同除cos^2()，可得sin2=2tan/(1+tan^2())
然后用/2代替即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3=sin3/cos3
=(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin)
=(2sincos^2()+cos^2()sin－sin^3())/(cos^3()－cossin^2()－2sin^2()cos)
上下同除以cos^3()，得：
tan3=(3tan－tan^3())/(1-3tan^2())
sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin
=2sincos^2()+(1－2sin^2())sin
=2sin－2sin^3()+sin－2sin^3()
=3sin－4sin^3()
cos3=cos(2+)=cos2cos－sin2sin
=(2cos^2()－1)cos－2cossin^2()
=2cos^3()－cos+(2cos－2cos^3())
=4cos^3()－3cos
即
sin3=3sin－4sin^3()
cos3=4cos^3()－3cos
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)