2015中考数学：坚持做基础计算和平面几何

出场名师：南京市数学学科带头人、南京市数学中心组成员、南师附中新城初中怡康街分校校长叶旭山 南京市优秀青年教师、南京市小班化中心组成员、南师附中新城初中怡康街分校教师发展处主任马燕

【重点考点梳理】

中考数学内容主要包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域。具体分为数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析、事件的概率等。在中考复习过程中下面的核心内容需要格外引起重视：

（1）基本计算是重点考查项目，在数与式、方程与不等式这两个板块通常会有基础计算题出现；

（2）一元二次方程的复习主要从模型的角度进行突破，重点复习一元二次方程在实际生活中的应用，建议参照2012年中考南京卷第25题和2010年中考南京卷第27题进行归纳和总结；

（3）一次函数、二次函数的复习建议主要从两个方面入手，其一是模型的角度，其二是图像的角度，要注重对模型意义和图像背后故事的理解，一次函数复习建议把2008年中考南京卷第28题运用多种方法进行解答，并感悟这些方法之间的联系，二次函数复习建议参照2014年中考南京卷第24题和2012年中考南京卷第24题进行归纳和提炼；

（4）图形的性质与证明板块的复习通常需要注重图形语言、文字语言、符号语言之间转换，同时证明思路要清晰，书写要规范；

（5）解直角三角形注重分离基本图形，注重三角函数定义的理解与运用，建议对照2009年江苏省中考数学试卷第25题考虑如何分离基本图形；

（6）圆的复习建议从两个方面入手，一是动态背景下圆的问题，在运动变化中辨认和圆有关的位置关系，二是直线与圆的位置关系中切线的证明做重点突破，同时注重在圆中利用相似进行有关线段长度的计算，建议参照2008年中考南京卷第27题和2013年中考南京卷第25题涉及的知识点进行方法的梳理；

（7）统计板块的复习要了解收集、整理和描述数据的全过程，同时抓住样本估计总体的统计思想进行简单的判断和决策，建议按2011年中考南京卷第21题安排练习；

（8）概率板块的复习要注重利用树状图、表格或简单枚举方式列出的结果所具有的等可能性，同时学会从不同的概率背景中找到共性，建议把2013年中考南京卷第20题多做几遍，慢慢品味。

在初三最后阶段的复习过程中一定要依据课本和中考指导用书进行系统复习，回归课本，理清知识脉络，夯实基础。现在中考试题仍然以考查基础知识、基本技能为主，有些基础题是课本上的原题或基于原题的改造，后面的大题虽是高于教材，但原型一般还是教材中的例习题，是教材中题目的引申、变形或组合。复习时应以课本为主，注重掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，加深对数学概念的理解。复习过程中如何归纳总结重要的数学模型和常见的几何基本图形对于提升解题能力是很重要的。如在代数中方程、函数模型，几何中的母子直角三角形等应较为熟练地掌握。中考涉及的动点问题，既是方程、不等式与函数问题的结合，同时也常涉及到几何中的相似三角形等等，这就要求对基本模型和基本图形较为熟悉，因此建议每天坚持做基础计算题和平面几何题，除此之外还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思不同解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。

在二轮复习过程中要关注几何探究中特殊与一般、几何图形中函数关系、等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、相似三角形的存在性等问题，以及基本数学活动经验与基本数学思想类试题的解题策略的积累等等。例如，从全等到相似的学习过程，实际上就是一种数学基本活动经验的迁移。还有，体现分类思想的试题对于未给出图形的题目要注意引导学生体会是否会有不同情况，画出不同的图形。建议在复习中把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断比较、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法。同时，要建立起研究几何图形一般的思路、方法和经验，注重知识形成的过程，以促进解题的正向迁移，这也是实现突破的重要途径。

【经典考题推荐】

1．已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）。

（1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；

（2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（－1，0）。求二次函数的表达式，并写出图像的顶点坐标；

（3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）。如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边。试比较a1和a2的大小。

2．形如三角板的△ABC和△DEF按如图所示位置摆放，点A、E、C、D在同一条直线上，点B在DF上，AB与EF交于点P，ACB＝DEF＝90，A＝D＝30，AE＝3cm，AC＝DC＝4cm。点M从A点出发以1cm/s速度沿AD向D点运动，过点M作直线垂直于AD，交直线AB于点H，交直线DF于点N，⊙H的半径为2cm。

（1）FBP的度数是，BC＝ cm；

（2）当⊙H和直线DF相切时，比较点B到直线MN的距离与⊙H半径之间的大小关系，并求出此时点M运动时间t的值；

（3）当⊙H和直线DF有公共点时，四边形PEMN的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时点M运动时间t的值；若不存在，请说明理由。

【参考答案】

出场名师：南京市数学学科带头人、南京市数学中心组成员、南师附中新城初中怡康街分校校长叶旭山 南京市优秀青年教师、南京市小班化中心组成员、南师附中新城初中怡康街分校教师发展处主任马燕

【重点考点梳理】

中考数学内容主要包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域。具体分为数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析、事件的概率等。在中考复习过程中下面的核心内容需要格外引起重视：

（1）基本计算是重点考查项目，在数与式、方程与不等式这两个板块通常会有基础计算题出现；

（2）一元二次方程的复习主要从模型的角度进行突破，重点复习一元二次方程在实际生活中的应用，建议参照2012年中考南京卷第25题和2010年中考南京卷第27题进行归纳和总结；

（3）一次函数、二次函数的复习建议主要从两个方面入手，其一是模型的角度，其二是图像的角度，要注重对模型意义和图像背后故事的理解，一次函数复习建议把2008年中考南京卷第28题运用多种方法进行解答，并感悟这些方法之间的联系，二次函数复习建议参照2014年中考南京卷第24题和2012年中考南京卷第24题进行归纳和提炼；

（4）图形的性质与证明板块的复习通常需要注重图形语言、文字语言、符号语言之间转换，同时证明思路要清晰，书写要规范；

（5）解直角三角形注重分离基本图形，注重三角函数定义的理解与运用，建议对照2009年江苏省中考数学试卷第25题考虑如何分离基本图形；

（6）圆的复习建议从两个方面入手，一是动态背景下圆的问题，在运动变化中辨认和圆有关的位置关系，二是直线与圆的位置关系中切线的证明做重点突破，同时注重在圆中利用相似进行有关线段长度的计算，建议参照2008年中考南京卷第27题和2013年中考南京卷第25题涉及的知识点进行方法的梳理；

（7）统计板块的复习要了解收集、整理和描述数据的全过程，同时抓住样本估计总体的统计思想进行简单的判断和决策，建议按2011年中考南京卷第21题安排练习；

（8）概率板块的复习要注重利用树状图、表格或简单枚举方式列出的结果所具有的等可能性，同时学会从不同的概率背景中找到共性，建议把2013年中考南京卷第20题多做几遍，慢慢品味。

在初三最后阶段的复习过程中一定要依据课本和中考指导用书进行系统复习，回归课本，理清知识脉络，夯实基础。现在中考试题仍然以考查基础知识、基本技能为主，有些基础题是课本上的原题或基于原题的改造，后面的大题虽是高于教材，但原型一般还是教材中的例习题，是教材中题目的引申、变形或组合。复习时应以课本为主，注重掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，加深对数学概念的理解。复习过程中如何归纳总结重要的数学模型和常见的几何基本图形对于提升解题能力是很重要的。如在代数中方程、函数模型，几何中的母子直角三角形等应较为熟练地掌握。中考涉及的动点问题，既是方程、不等式与函数问题的结合，同时也常涉及到几何中的相似三角形等等，这就要求对基本模型和基本图形较为熟悉，因此建议每天坚持做基础计算题和平面几何题，除此之外还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思不同解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。

在二轮复习过程中要关注几何探究中特殊与一般、几何图形中函数关系、等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、相似三角形的存在性等问题，以及基本数学活动经验与基本数学思想类试题的解题策略的积累等等。例如，从全等到相似的学习过程，实际上就是一种数学基本活动经验的迁移。还有，体现分类思想的试题对于未给出图形的题目要注意引导学生体会是否会有不同情况，画出不同的图形。建议在复习中把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断比较、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法。同时，要建立起研究几何图形一般的思路、方法和经验，注重知识形成的过程，以促进解题的正向迁移，这也是实现突破的重要途径。

【经典考题推荐】

1．已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）。

（1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；

（2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（－1，0）。求二次函数的表达式，并写出图像的顶点坐标；

（3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）。如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边。试比较a1和a2的大小。

2．形如三角板的△ABC和△DEF按如图所示位置摆放，点A、E、C、D在同一条直线上，点B在DF上，AB与EF交于点P，ACB＝DEF＝90，A＝D＝30，AE＝3cm，AC＝DC＝4cm。点M从A点出发以1cm/s速度沿AD向D点运动，过点M作直线垂直于AD，交直线AB于点H，交直线DF于点N，⊙H的半径为2cm。

（1）FBP的度数是，BC＝ cm；

（2）当⊙H和直线DF相切时，比较点B到直线MN的距离与⊙H半径之间的大小关系，并求出此时点M运动时间t的值；

（3）当⊙H和直线DF有公共点时，四边形PEMN的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时点M运动时间t的值；若不存在，请说明理由。

【参考答案】