2012年全国初中联赛四川初三数学竞赛初赛
参考解答与评分标准
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．A2．B3．D4．D5．C6．B
二、填空题（每小题7分，共28分）
1．22．23．4．24
三、（本大题满分20分）
如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，在线段上有一点，过点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为、．
（I）若矩形的面积为，求点坐标；
（II）若点在线段上移动，求矩形面积的最大值．
解：（1）设点坐标为，根据题意得
，（5分）解得或，
所以点坐标为或（10分）
（2）设点坐标为，则
（15分）
所以当时，矩形面积取得最大值为．（20分）
四、（本大题满分25分）
如图，在△中，为边上一点，且，过作的垂线交△的外接圆于，过作的垂线，交圆于，求证：为△外接圆的直径．
解：延长至，使，（5分）
则由已知得，
又，所以，（10分）
所以，
又由得，
所以，（15分）
所以，
所以，（20分）
所以为优弧的中点，
又因为，所以为△外接圆的直径．（25分）
五、（本大题满分25分）
已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数．试求的取值范围．
解：由得①
得②，
又③，
将①②代入③得，化简得（5分）
此方程的两个根为和．
因都是正实数，所以．（10分）
将代入①②得，因此是下面辅助方程的两个根
④．（15分）
因为是实数，所以
．（20分）
因为都是正数，所以，即
因此可得的取值范围是．（25分）
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所以，
所以，（20分）
所以为优弧的中点，
又因为，所以为△外接圆的直径．（25分）
五、（本大题满分25分）
已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数．试求的取值范围．
解：由得①
得②，
又③，
将①②代入③得，化简得（5分）
此方程的两个根为和．
因都是正实数，所以．（10分）
将代入①②得，因此是下面辅助方程的两个根
④．（15分）
因为是实数，所以
．（20分）
因为都是正数，所以，即
因此可得的取值范围是．（25分）
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