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中考数学辅导:用逆向思维解答初三难题

发布时间:2009-03-25 14:01:00来源:查字典-中考网

不少数学试题所考查的知识点并不难,但是解题时必须从相反方向考虑(称为逆向思维),同学们必须重视培养这种有用的能力。

一、数学概念的反问题

例1 若化简|1-x||x-4|的结果为2x-5,求x的取值范围。

分析:原式=|1-x|-|x-4|

根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑,推出其条件是:

1-x0,且x-40

x的取值范围是:14

二、代数运算的逆过程

例2 有四个有理数:3,4-6,10,将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次),使结果为24.请写出一个符合要求的算式。

分析:不妨先设想38=24,再考虑怎样从4,-6,10算出8,这样就找到一个所求的算式:

3(4-6 10)=24

类似的,还有:4-(-610)3;

10-(-63 4);3(10-4)-(-6)等。

三、逆向应用不等式性质

例3 若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值。

分析:根据不等式性质3,从反方向进行分析,得:

a-1<0,且a2-2=2(a-1)

所求a值为a=0.

四、逆向分析分式方程的检验

例4 已知方程m(x 1)/(1-x2)=1有增根,求它的增根。

分析:这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理,得x2 mx m-1=0

如果把x=1代入,能求出m=3;

如果把x=-1代入,则不能求出m;

m的值为3,原方程的增根是x=1.

五、图形变换的反问题

例5 △ABC中,AB<AC,一刀剪切后可以拼成等腰梯形,请确定剪切线。

分析:我们曾经把梯形剪切后拼成三角形,就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180,本题正好相反。由此得到启发,再应用等腰梯形的性质,得到如下做法:

作ADBC,垂足为D点,在BC上截取DE=BD,连结AE,则AEB=B.

过AC中点M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切线。剪下△MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ

不少数学试题所考查的知识点并不难,但是解题时必须从相反方向考虑(称为逆向思维),同学们必须重视培养这种有用的能力。

一、数学概念的反问题

例1 若化简|1-x||x-4|的结果为2x-5,求x的取值范围。

分析:原式=|1-x|-|x-4|

根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑,推出其条件是:

1-x0,且x-40

x的取值范围是:14

二、代数运算的逆过程

例2 有四个有理数:3,4-6,10,将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次),使结果为24.请写出一个符合要求的算式。

分析:不妨先设想38=24,再考虑怎样从4,-6,10算出8,这样就找到一个所求的算式:

3(4-6 10)=24

类似的,还有:4-(-610)3;

10-(-63 4);3(10-4)-(-6)等。

三、逆向应用不等式性质

例3 若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值。

分析:根据不等式性质3,从反方向进行分析,得:

a-1<0,且a2-2=2(a-1)

所求a值为a=0.

四、逆向分析分式方程的检验

例4 已知方程m(x 1)/(1-x2)=1有增根,求它的增根。

分析:这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理,得x2 mx m-1=0

如果把x=1代入,能求出m=3;

如果把x=-1代入,则不能求出m;

m的值为3,原方程的增根是x=1.

五、图形变换的反问题

例5 △ABC中,AB<AC,一刀剪切后可以拼成等腰梯形,请确定剪切线。

分析:我们曾经把梯形剪切后拼成三角形,就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180,本题正好相反。由此得到启发,再应用等腰梯形的性质,得到如下做法:

作ADBC,垂足为D点,在BC上截取DE=BD,连结AE,则AEB=B.

过AC中点M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切线。剪下△MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ

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