四、一元二次方程与不等式综合
例4关于的方程两实根之和为m,且满足,关于y的不等于组有实数解,则k的取值范围是______________________.
分析:因为方程有两实根,所以△=[2(k+1)]2-4k20,又因为关于y的不等式组y>-4y<m有实数解,所以y一定介于-4与m之间,即m一定大于-4,因此m=-2(k+1)>-4,然后解不等式即可求出k的取值范围.
解:∵方程x2+2(k+1)x+k2=0有两实根,
△=[2(k+1)]2-4k20,解得k-12;
∵关于y的不等于组有实数解,m>-4
又∵m=-2(k+1),
-2(k+1)>-4,解得k<1.
五、一元二次方程与概率综合
例5甲、乙两同学投掷一枚骰子,用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.
(1)求满足关于x的方程有实数解的概率.
(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率.
分析:(1)方程x2+px+q=0有实数解,则p2-4q0,把投掷骰子的36种p、q对应值,代入检验,找出符合条件的个数;(2)方程x2+px+q=0有相同实数解,则p2-4q=0,把投掷骰子的36种p、q对应值,代入检验,找出符合条件的个数.
解:两人投掷骰子共有36种等可能情况,
(1)其中使方程有实数解共有19种情况:
p=6时,q=6、5、4、3、2、1;
p=5时,q=6、5、4、3、2、1;
p=4时,q=4、3、2、1;
p=3时,q=2、1;
p=2时,q=1;故其概率为.
(2)使方程有相等实数解共有2种情况:
六、一元二次方程与几何知识综合
例6三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为()
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
分析:易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,排除不合题意的边,进而求得三角形周长即可.
解:解方程得:x=5或x=7.
当x=7时,3+4=7,不能组成三角形;
当x=5时,3+4>5,三边能够组成三角形.
例7如图,在中,于且是一元二次方程的根,则的周长为()
A.B.C.D.
分析:先解方程求得a,再根据勾股定理求得AB,从而计算出的周长即可.
解:∵a是一元二次方程x2+2x-3=0,
(x-1)(x+3)=0,即x=1或-3,
∵AE=EB=EC=a,
a=1,
例8(2010年兰州市)已知两圆的半径R、r分别为方程的两根,两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是()
A.外离B.内切C.相交D.外切
分析:本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r,再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法,确定两圆的位置关系.设两圆圆心距为P,两圆半径分别为R和r,且Rr,则有:外离:P>R+r;外切:P=R+r;相交:R-r<P<R+r;内切:P=R-r;内含:P<R-r.
解:∵两圆的半径分别是方程的两根,
两圆半径和为5,半径积为6,半径差为=1,即圆心距等于半径差,
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切.故选D.