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绝对值不等式性质及公式

发布时间:2012-11-14 10:54:47来源:查字典-中考网

绝对值不等式

简介

在不等式应用中,经常涉及重量、面积、体积等,也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式:|a|-|b||a+b||a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质:1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|<|b| 可逆 a<b

另外

|a|-|b||a+b||a|+|b|,当且仅当ab0时左边等号成立,ab0时右边等号成立。

|a|-|b||a-b||a|+|b|,当且仅当ab0时左边等号成立,ab0时右边等号成立。

几何意义

1.当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 2.当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a+b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)

绝对值重要不等式

我们知道

|a|={a,(a>0), a,(a=0), ﹣a,(a<0),}

因此,有

﹣|a||a|

﹣|b||b|

同样地

①,②相加得

﹣﹙|a|+|b|)|a|+|b|

即 |a+b||a|+|b|

显而易见,a,b同号或有一个为0时,③式等号成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b||a+b|+|-b|,

即 |a|-|b||a+b|

综合③,④我们得到有关绝对值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b||a+b||a|+|b|

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