2012全国初中联赛初三数学竞赛初赛答案

2012年全国初中联赛四川初三数学竞赛初赛

参考解答与评分标准

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．A2．B3．D4．D5．C6．B

二、填空题（每小题7分，共28分）

1．22．23．4．24

三、（本大题满分20分）

如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，在线段上有一点，过点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为、．

（I）若矩形的面积为，求点坐标；

（II）若点在线段上移动，求矩形面积的最大值．

解：（1）设点坐标为，根据题意得

，（5分）解得或，

所以点坐标为或（10分）

（2）设点坐标为，则

（15分）

所以当时，矩形面积取得最大值为．（20分）

四、（本大题满分25分）

如图，在△中，为边上一点，且，过作的垂线交△的外接圆于，过作的垂线，交圆于，求证：为△外接圆的直径．

解：延长至，使，（5分）

则由已知得，

又，所以，（10分）

所以，

又由得，

所以，（15分）

所以，

所以，（20分）

所以为优弧的中点，

又因为，所以为△外接圆的直径．（25分）

五、（本大题满分25分）

已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数．试求的取值范围．

解：由得①

得②，

又③，

将①②代入③得，化简得（5分）

此方程的两个根为和．

因都是正实数，所以．（10分）

将代入①②得，因此是下面辅助方程的两个根

④．（15分）

因为是实数，所以

．（20分）

因为都是正数，所以，即

因此可得的取值范围是．（25分）

考试试题将第一时间发送，近期期待。

所以，

所以，（20分）

所以为优弧的中点，

又因为，所以为△外接圆的直径．（25分）

五、（本大题满分25分）

已知方程组的所有各组解都是由正实数组成的,其中是参数．试求的取值范围．

解：由得①

得②，

又③，

将①②代入③得，化简得（5分）

此方程的两个根为和．

因都是正实数，所以．（10分）

将代入①②得，因此是下面辅助方程的两个根

④．（15分）

因为是实数，所以

．（20分）

因为都是正数，所以，即

因此可得的取值范围是．（25分）

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