例1.如图，弓形弦AB=6，弓形高为1，则其所在圆的半径为_____。
［解析］：作弦AB的垂直平分线，分别交-、弦AB于C、D两点。则CD为弓形的高，由垂径定理的推论知圆心O一定在直线CD上，设圆心O在如图所示的位置，半径为r，连结BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5
［点评］：此题运用了垂直弦、平分弦就过圆心且过弧的中点的垂径定理的推论。
例2.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2-cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为_____。
［解析］：如图，取弧AB的中点C，弦AB的中点D，连结CD并延长，由垂径定理的推论知圆心O一定在直线CD上，且OCAB。在Rt△ADO中，AD=-，AO=2，由勾股定理可求得OD=1，弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离CD=2-1=1。
答案：1
［点评］：此题运用了过弧的中点、过弦的中点就过圆心且垂直于弦的垂径定理的推论。
例3.如图，⊙O的直径为10，弦AB为8，P是弦AB上一动点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有____个。
［解析］：过O点作OCAB于C，由垂径定理可得AC=BC=4，在Rt△ACO中，由勾股定理可求得OC=3，由P点在线段AB上的位置可知当P点运动到C点时，OP最短且长为整数3，当P点运动到A、B两点时，OP最长且长为整数5，由于数轴上的点与实数具有一一对应的关系，可知A点和C点之间必存在一点P，使OP的长为4，同理B点和C点之间也存在一点P，使OP的长为4。
满足条件的点P一共有5个。
答案：5
［点评］：此题运用了过圆心、垂直弦，就平分弦的垂径定理。
例7.如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，E、F分别是AB、CD的中点，且PE=PF，求证：AB=CD。
［全解］：如图7-1，连结OB、OD
∵OE过圆心且E为AB的中点
OEAB OEP=90
同理OFP=90
∵PE=PF PEF=PFE
∵OEF=90PEF，OFE=90PFE
OEF=OFE OE=OF
在Rt△OEB和Rt△OFD中
∵OE=OF，OB=OD
Rt△OEB≌Rt△OFD
BE=DF
∵E、F分别为AB、CD的中点
AB=CD
［点评］：此题运用了过圆心、平分弦，就垂直弦的垂径定理的推论。
例4.已知，⊙O的半径OA=1，弦AB、CD的长分别为-、-，求BAC的度数。
［全解］：作ODAB于点D，OEAC于点E
D为AB的中点，AD=-；E为AC的中点，AE=-。在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=AD=-，DAO=45，同理EAO=30。
当AB、AC位于OA两侧时，BAC=BAO+CAO=75（如图8-1)
当AB、AC位于OA同侧时，BAC=BAO-CAO=15（如图8-2)
［点评］：此题运用了过圆心、垂直弦，就平分弦的垂径定理。
例5.如图，已知AB和CD为⊙O的两条直径，AOC=60，P为-上的一个动点(不包括B、C点)，且PEOC，PFOB，点E、F为垂足。
⑴P的大小是否随P点的变化而变化？若不变化，求P的度数；若变化，请说明理由；
⑵若P为-的中点时，求EF:OA的值。
［全解］：⑴随着点P的变化，P的大小不变。
∵AOC=60COB=120
在四边形PEOF中
∵PEOC，PFOB
P=180-120=60
⑵如图
∵AB是⊙O的直径，P为-的中点，PFOB
PF过圆心O
点F与点O重合
在Rt△POE中
∵P=60POE=30
PE：OE：OP=1：-：2
∵EF=OE，OA=OP，EF：OA=OE：OP=-：2
［点评］：此题运用了过弧的中点、垂直弦，就过圆心的垂径定理的推论。
总之，垂径定理及推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，它包含了五个元素：①过圆心②垂直弦③平分弦④平分优弧⑤平分劣弧，在上述5个元素中任意两个组成题设，都能推出其他的三个结论；但要注意的是当①过圆心与③平分弦组成题设时，被平分的弦不能是直径。
例7.如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，E、F分别是AB、CD的中点，且PE=PF，求证：AB=CD。
［全解］：如图7-1，连结OB、OD
∵OE过圆心且E为AB的中点
OEAB OEP=90
同理OFP=90
∵PE=PF PEF=PFE
∵OEF=90PEF，OFE=90PFE
OEF=OFE OE=OF
在Rt△OEB和Rt△OFD中
∵OE=OF，OB=OD
Rt△OEB≌Rt△OFD
BE=DF
∵E、F分别为AB、CD的中点
AB=CD
［点评］：此题运用了过圆心、平分弦，就垂直弦的垂径定理的推论。
例4.已知，⊙O的半径OA=1，弦AB、CD的长分别为-、-，求BAC的度数。
［全解］：作ODAB于点D，OEAC于点E
D为AB的中点，AD=-；E为AC的中点，AE=-。在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=AD=-，DAO=45，同理EAO=30。
当AB、AC位于OA两侧时，BAC=BAO+CAO=75（如图8-1)
当AB、AC位于OA同侧时，BAC=BAO-CAO=15（如图8-2)
［点评］：此题运用了过圆心、垂直弦，就平分弦的垂径定理。
例5.如图，已知AB和CD为⊙O的两条直径，AOC=60，P为-上的一个动点(不包括B、C点)，且PEOC，PFOB，点E、F为垂足。
⑴P的大小是否随P点的变化而变化？若不变化，求P的度数；若变化，请说明理由；
⑵若P为-的中点时，求EF:OA的值。
［全解］：⑴随着点P的变化，P的大小不变。
∵AOC=60COB=120
在四边形PEOF中
∵PEOC，PFOB
P=180-120=60
⑵如图
∵AB是⊙O的直径，P为-的中点，PFOB
PF过圆心O
点F与点O重合
在Rt△POE中
∵P=60POE=30
PE：OE：OP=1：-：2
∵EF=OE，OA=OP，EF：OA=OE：OP=-：2
［点评］：此题运用了过弧的中点、垂直弦，就过圆心的垂径定理的推论。
总之，垂径定理及推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，它包含了五个元素：①过圆心②垂直弦③平分弦④平分优弧⑤平分劣弧，在上述5个元素中任意两个组成题设，都能推出其他的三个结论；但要注意的是当①过圆心与③平分弦组成题设时，被平分的弦不能是直径。